百年數(shù)學(xué)難題中國(guó)人來完成答案

百年數(shù)學(xué)難題中國(guó)人來完成答案

　　6月2日，專程從美國(guó)來到北京的丘成桐教授拿著最新一期《亞洲數(shù)學(xué)期刊》說：“這是一篇實(shí)實(shí)在在的重要論文。最重要的是，文章從頭開始，完完整整地將整個(gè)證明過程一步一步地寫得清清楚楚。從來沒有人有能力做過這件事，即使Thurston也沒有把自己的工作寫清楚。這篇論文從頭到尾，每句話我都看了。論文經(jīng)過審稿，實(shí)實(shí)在在，可以當(dāng)大學(xué)里的教材?！?

　　被丘成桐大加贊揚(yáng)的這篇論文，就是兩位中國(guó)數(shù)學(xué)家――朱熹平和曹懷東最終證明龐加萊猜想的論文。在丘成桐看來，這篇長(zhǎng)達(dá)328頁(yè)的論文注定要在數(shù)學(xué)史上留下自己的位置。

　　丘成桐說：“龐加萊猜想的解決是多位科學(xué)家共同努力的結(jié)果，最后寫出整套證明方案的是兩位中國(guó)數(shù)學(xué)家。從我的朋友Thurston 開始，到Hamilton，再到 Perelman先生，他們的貢獻(xiàn)都非常大。最后一步是兩位中國(guó)數(shù)學(xué)家完成的，就像蓋了幢大樓，從基礎(chǔ)開始，還沒有封頂，他們的工作就是封頂?！?

　　在接受《科學(xué)時(shí)報(bào)》獨(dú)家專訪時(shí)，丘成桐向記者講述了龐加萊猜想被證明的來龍去脈。

　　三維龐加萊猜想的證明非常困難

　　1905年，法國(guó)數(shù)學(xué)家龐家萊提出著名的“龐加萊猜想”：在一個(gè)三維空間中，假如一條封閉的曲線能收縮成一點(diǎn)，那么這個(gè)空間一定是三維的圓球。后來，這個(gè)猜想被推廣至三維以上空間，被稱為“高維龐加萊猜想”。

　　丘成桐說，龐加萊猜想和三維空間幾何化的問題是幾何領(lǐng)域的主流，它的證明將會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)界流形性質(zhì)的認(rèn)識(shí)，甚至用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述宇宙空間產(chǎn)生重要影響。龐加萊猜想和黎曼猜想共同被認(rèn)為是數(shù)學(xué)領(lǐng)域最著名的兩個(gè)猜想。幾乎所有的數(shù)學(xué)家都?jí)粝虢鉀Q這兩個(gè)問題。

　　高維龐加萊猜想的證明比低維龐加萊猜想要容易一些。20世紀(jì)60年代初，兩位美國(guó)數(shù)學(xué)家Smale 和Stallings發(fā)表論文，證明了五維及五維以上的龐加萊猜想，Smale因此獲得1966年的菲爾茨獎(jiǎng)，但這種方法無(wú)法用于證明三維與四維空間龐加萊猜想；1983年，美國(guó)數(shù)學(xué)家Freedman發(fā)表論文，證明了四維龐加萊猜想，因此獲得1986年的菲爾茨獎(jiǎng)，但這種方法無(wú)法再向前推進(jìn)。

　　丘成桐說，解決龐加萊猜想有幾種不同的途徑，剛開始是拓?fù)鋵W(xué)的方法，即所謂切割方法，但這個(gè)方法到20世紀(jì)70年代就很難再進(jìn)一步了。1978年，美國(guó)數(shù)學(xué)家Thurston引進(jìn)幾何結(jié)構(gòu)的方法來做切割，這個(gè)方法很重要，他因此獲得1983年的菲爾茨獎(jiǎng)，但這個(gè)方法也無(wú)法再向前推進(jìn)。

　　關(guān)鍵一環(huán)：微分幾何分析方法

　　1972年，丘成桐和李偉光發(fā)展出用非線性微分方程的方法來研究幾何結(jié)構(gòu)，丘成桐用這個(gè)方法證明了卡拉比猜想和復(fù)幾何上的龐加萊猜想。由此，丘成桐知道幾何分析方法有助于龐加萊猜想的解決。

　　1982年，丘成桐的朋友、康奈爾大學(xué)的Hamilton發(fā)表一篇文章，提出一種新方程來構(gòu)造幾何結(jié)構(gòu)。但Hamilton是用微分方程的方法來做的，不同于Thurston的幾何結(jié)構(gòu)方法。丘成桐看出其中的重要性，建議Hamilton用他和李偉光的幾何分析方法來做龐加萊猜想和三維空間幾何化的問題，同時(shí)，讓自己的4位博士生開始這個(gè)研究，而曹懷東就是其中一位，他的博士論文就是這方面的工作。丘成桐的另兩位中國(guó)學(xué)生也對(duì)這項(xiàng)工作有著奠基性貢獻(xiàn)，其中一位是來自中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)所的施皖雄。

　　1982年時(shí)，丘成桐是普林斯頓高等研究中心的教授，曹懷東是附近普林斯頓大學(xué)的研究生，他慕名成為丘成桐的博士生，也成為丘成桐第一位來自中國(guó)大陸的學(xué)生。1984年，丘成桐到加州大學(xué)圣地亞哥分校做教授，曹懷東跟他到了圣地亞哥。丘成桐同時(shí)邀請(qǐng)Hamilton和加州大學(xué)伯克利分校的Schoen教授到圣地亞哥分校。丘成桐說：“在圣地亞哥，Hamilton的辦公室就在我的隔壁，我們之間有很多討論?！?

　　可是，Hamilton研究過程中遇到一個(gè)重要問題：在用曲率方法推動(dòng)空間變化時(shí)遇到了奇怪的點(diǎn)，如何處理奇異點(diǎn)就成為整個(gè)龐加萊猜想證明中最重要的一部分。

　　處理奇異點(diǎn)的發(fā)生是幾何分析上的問題，剛好丘成桐和李偉光發(fā)現(xiàn)了一種處理非線性微分方程的方法。于是，丘成桐建議Hamilton一試。后來，Hamilton花了很多功夫?qū)⑦@種方法用在他的方程上，得到了重要結(jié)果。1993年，Hamilton發(fā)表一篇重要論文，開始對(duì)奇異點(diǎn)問題有了深刻了解，但如何切掉奇異點(diǎn)又是一個(gè)新的困難。

　　丘成桐說：“因?yàn)槠娈慄c(diǎn)的產(chǎn)生有很多種，多姿多彩，必須掌握控制它們的方法，這需要很多仔細(xì)的分析和幾何結(jié)構(gòu)上的研究。朱熹平和曹懷東在Hamilton和Perelman關(guān)鍵性工作的基礎(chǔ)上最后解決了這個(gè)問題，所以，他們?yōu)檫@個(gè)猜想的解決封了頂?！?

　　1995年，丘成桐看到了解決龐加萊問題的大趨勢(shì)，他邀請(qǐng)Hamilton到中國(guó)講學(xué)，并向我國(guó)數(shù)學(xué)界發(fā)出“全國(guó)向Hamilton學(xué)習(xí)，一定會(huì)有成就”的口號(hào)，但最后，只有朱熹平響應(yīng)了這個(gè)口號(hào)。

　　一個(gè)證明 半年講解

　　1994年，朱熹平首次在香港中文大學(xué)數(shù)學(xué)研究所的討論班上遇見丘成桐。1997年，丘成桐建議朱熹平集中精力到龐加萊猜想的證明上。之后，丘成桐每年邀請(qǐng)朱熹平到香港中文大學(xué)工作半年，其間他們有許多討論。

　　2002年11月，俄羅斯數(shù)學(xué)家Grigory Perelman在網(wǎng)上公布了一個(gè)研究報(bào)告，聲稱證明了由Thurston25年前提出的有關(guān)三維流形的“幾何化猜想”，而龐加萊猜想正是后者的一個(gè)特例。4個(gè)月后，Perelman在網(wǎng)上發(fā)布第二份報(bào)告，介紹了更多的證明細(xì)節(jié)。當(dāng)時(shí)，許多數(shù)學(xué)家以為Perelman證明了龐加萊猜想，2003年4月5日的《紐約時(shí)報(bào)》就曾以《俄國(guó)人報(bào)告著名數(shù)學(xué)問題解決了》為題首次向公眾披露了這個(gè)消息；同日，數(shù)學(xué)網(wǎng)站MathWorld的頭條新聞是：龐加萊猜想被證明了，這一回是真的。但隨后，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)了Perelman的證明不完整，有漏洞。

　　就在Perelman公布其研究時(shí)，朱熹平對(duì)龐加萊猜想的研究也有了部分結(jié)果。不久后，Perelman的證明開始接受專家評(píng)審。

　　競(jìng)爭(zhēng)非常激烈。丘成桐調(diào)兵遣將，讓曹懷東在2003年夏天開始和朱熹平合作。2005年，兩人解決了最后的問題。

　　2005年初夏，丘成桐建議哈佛大學(xué)邀請(qǐng)朱熹平到哈佛數(shù)學(xué)系訪問半年，獲得數(shù)學(xué)系全體教授一致同意。當(dāng)年9月，朱熹平來到哈佛大學(xué)，他的主要任務(wù)就是向?qū)＜抑v解他們的證明論文。

　　從2005年9月到2006年3月，朱熹平每周在哈佛大學(xué)講3個(gè)小時(shí)，共講70多個(gè)小時(shí)。丘成桐說：“聽他講解的教授有5～6位，包括我和哈佛數(shù)學(xué)系主任在內(nèi)。我從頭到尾地聽，他一句句地講解，因此，我對(duì)整個(gè)過程相當(dāng)了解。這么大的問題，用2到3個(gè)小時(shí)是講不明白的。朱熹平小心地花了幾十個(gè)小時(shí)來講，這不是件容易的事?！?

　　我為中國(guó)驕傲

　　談到數(shù)學(xué)家們對(duì)龐加萊猜想證明的貢獻(xiàn)，丘成桐說：“龐加萊猜想最后證明所用的方法與拓?fù)鋵W(xué)的關(guān)系并不大，而是完全用了我和很多朋友在30多年前發(fā)展的幾何分析方法。Hamilton是整個(gè)龐加萊猜想證明過程中的主帥、領(lǐng)導(dǎo)人，他是一個(gè)偉大的數(shù)學(xué)家，是我所能看到的少數(shù)具有原創(chuàng)性的數(shù)學(xué)家之一。Perelman先生增加了很重要的部分，朱熹平和曹懷東解決了最后的問題，他們?yōu)檫@個(gè)問題封了頂?！?

　　丘成桐為中國(guó)數(shù)學(xué)家的這一杰出成就深感高興，他選擇論文正式發(fā)表后的第三天在北京中國(guó)科學(xué)院晨興數(shù)學(xué)研究中心公布這個(gè)消息。他說：“這是我創(chuàng)立的研究所，朱熹平和曹懷東在這里有過許多討論，這不是一項(xiàng)普通的成就，是大成就。中國(guó)人做出這么好的工作，我為中國(guó)驕傲！他們用了我和朋友30多年前發(fā)展出來的方法，我也為此驕傲。我發(fā)展了很多工具，總是希望看到它們的應(yīng)用和成長(zhǎng)?！?

　　這是一個(gè)長(zhǎng)江后浪推前浪的故事。丘成桐說：“好的學(xué)問都是年輕時(shí)做出的。在整個(gè)幾何分析法上，我花了很多功夫。在這方面我是一個(gè)領(lǐng)袖人物。我一直很想做龐加萊猜想，做了很久，也用了很多方法，但最后沒辦法做出來。這很艱難。我的學(xué)生能做出這樣好的工作，我當(dāng)然很高興。這是可以在歷史上留名的工作，希望能借此將整個(gè)中國(guó)數(shù)學(xué)界的風(fēng)氣改正過來。做數(shù)學(xué)就要真正對(duì)數(shù)學(xué)本身有貢獻(xiàn)，而不是為后面的榮譽(yù)和名利?！?