[奧數(shù)課堂]“數(shù)一數(shù)”的方法和規(guī)律

[奧數(shù)課堂]“數(shù)一數(shù)”的方法和規(guī)律

例1 數(shù)一數(shù)，圖1中有幾條線段？

分析與解 線段AE被B、C、D三點(diǎn)分成四條基本線段。這四條基本線段構(gòu)成的線段有四類：用四條基本線段構(gòu)成的線段只有1條（AE）；用三條基本線段構(gòu)成的線段有2條（AD、BE）；用兩條基本線段構(gòu)成的線段有3條（AC、BD、CE）；用一條基本線段構(gòu)成的線段有4條（AB、BC、CD、DE）。所以，圖1中線段總數(shù)是（1＋2＋3＋4=）10條。

規(guī)律一 一條線段被分成a條基本線段，這些基本線段所構(gòu)成的線段總數(shù)是1＋2＋……＋a條。

例2 數(shù)一數(shù)，圖2中有幾個(gè)矩形？　

分析與解 圖2中最大矩形被縱向分為四個(gè)基本矩形，與例1類同。由規(guī)律一可知，圖2中矩形總數(shù)是（1＋2＋3＋4＝）10個(gè)。

例3 數(shù)一數(shù)，圖3中有幾個(gè)三角形？

分析與解 圖3中最大三角形被從同一頂點(diǎn)引出的四條線段縱向分為五個(gè)基本三角形，與例1、例2類同。由規(guī)律一可知，這些基本三角形構(gòu)成的三角形有（1＋2＋3＋4＋5＝）15個(gè)。

例4 數(shù)一數(shù)，圖中有幾個(gè)立方體？　

分析與解 圖4中最大立方體被縱向分為三個(gè)基本立方體，與例1、例2類同。由規(guī)律一可知，圖4中立方體總數(shù)是（1＋2＋3＝）6個(gè)。

例5 數(shù)一數(shù)，圖5中有幾個(gè)矩形（包括長(zhǎng)方形和正方形兩種幾何圖形）？

分析與解 圖5中最大矩形被縱向分成五部分，橫向分成4＝）20個(gè)基本矩形。由規(guī)律一和例2可知，（1）每一橫列有矩形（1＋2＋3＋4＋5＝）15個(gè)；（2）每一縱列有矩形（1＋2＋3＋4=）10個(gè)；綜合（1）和（2）可知，圖5中矩形總數(shù)是（10×15＝）150個(gè)。

規(guī)律二 一個(gè)矩形被縱向分成a部分，橫向分成b部分，一共有（a×b）個(gè)基本矩形；這些基本矩形所構(gòu)成的矩形有（1＋2＋…＋a）（1＋2＋…＋b）個(gè)。特殊的有，如果矩形被縱向橫向都分成a部分，就有a²個(gè)基本矩形，這些基本矩形構(gòu)成的矩形總數(shù)是（1＋2＋…＋a）²個(gè)。

例6 數(shù)一數(shù)，圖6中有幾個(gè)三角形？

分析與解 圖6中最大三角形ABC被從A點(diǎn)引出的四條線段縱向分成五個(gè)基本三角形，又被兩條橫向線段分成三部分。由規(guī)律一和例3可知，以A為頂點(diǎn)，以DE上線段為底邊的三角形有（1＋2＋3＋4＋5=）15個(gè)；同理，以A為頂點(diǎn)，分別以FG上線段和BC上線段為底邊的兩類三角形都各有15個(gè)。所以，三類三角形的總數(shù)為（15×3=）45個(gè)。

　　顯然，此題解答不同于例5。這是因?yàn)椋瑘D6中的三角形僅因底邊分屬三條直線而分為三類，且所有三角形都有一個(gè)共同的頂點(diǎn)A。

例7 數(shù)一數(shù)，圖7中有幾個(gè)正方形　

分析與解 圖7中最大正方形被縱向橫向都分成四等份，得（4²=）16個(gè)全等基本正方形。這些基本正方形構(gòu)成的正方形有四類：用4²個(gè)基本正方形構(gòu)成的正方形只有1個(gè)（＝1²個(gè)），用3²個(gè)基本正方形構(gòu)成的正方形有4個(gè)（＝2²個(gè)），用2²個(gè)基本正方形構(gòu)成的正方形有9個(gè)（＝3²個(gè)）；用1²個(gè)基本正方形構(gòu)成的正方形有16個(gè)（=4²個(gè)）。所以，圖7中正方形的總數(shù)是（1²＋2²+3²+4²＝）30個(gè)。

　　如果例7中的問(wèn)題改為，圖7中有矩形（包括正方形和長(zhǎng)方形兩種幾何圖形）多少個(gè)？那么，由規(guī)律二的特殊情形可知，圖7中的矩形有[（1＋2＋3＋4）²＝10² =]100個(gè)。顯然，圖7中的長(zhǎng)方形總數(shù)是（100-30=）70個(gè)。

例8 數(shù)一數(shù)，圖8中有幾個(gè)立方體？

分析與解 圖8中最大立方體被橫向分為兩部分，縱向分為三部分，平向分為四部分，這樣就得（2×3×4＝）24個(gè)基本立方體。由規(guī)律一和例4可知，每層每縱列有立方體（1＋2=）3個(gè)；每層每橫列有立方體（1＋2＋3=）6個(gè)；每豎列有立方體（1＋2＋3＋4=）10個(gè)。綜合以上三個(gè)數(shù)據(jù)可知，圖8中立方體的總數(shù)有（3×6×10=）180個(gè)。

規(guī)律三 一個(gè)立方體被縱向分為a部分，橫向分為b部分，平向分為c部分，這樣可得（a×b×c）個(gè)基本立方體；這些基本立方體構(gòu)成的立方體總數(shù)為（1＋2＋…＋）（1＋2＋…＋b）（1＋2＋…＋c）個(gè)。特殊的有，當(dāng)立方體被縱向、橫向、平向都分為a個(gè)部分時(shí)就得到a³個(gè)基本立方體；這些基本立方體構(gòu)成的立方體總數(shù)為（1＋2＋…＋a）³個(gè)。

例9 數(shù)一數(shù)，圖9中有幾個(gè)正方體？

分析與解 圖9中最大正方體被縱向、橫向、平向都分成四等份，得到（4³=）64個(gè)全等基本正方體。這些基本正方體構(gòu)成的正方體有四類：用4³個(gè)基本正方體構(gòu)成的正方體只有1個(gè)；用3³個(gè)基本正方體構(gòu)成的正方體有（2³=）8個(gè)；用2³個(gè)基本正方體構(gòu)成的正方體有（3³=）27個(gè)；用1³個(gè)基本正方體構(gòu)成的正方體有（4³＝）64個(gè)。所以圖9中有正方體（1³＋2³＋3³＋4³＝）100個(gè)。

　　以上3種類型9道例題的解答過(guò)程使我們知道“數(shù)一數(shù)”這類題目的基本思路是，按照一定的順序，有條不紊地思考問(wèn)題，基本方法是分類統(tǒng)計(jì)，逐步地解答問(wèn)題。根據(jù)這種思路和方法歸納概括了3條規(guī)律。這3條規(guī)律在知識(shí)結(jié)構(gòu)上是互相聯(lián)系的，前者是后者的基礎(chǔ)，后者是前者的發(fā)展，呈遞進(jìn)關(guān)系。