含絕對值的方程及不等式
含絕對值的方程及不等式
| 從數(shù)軸上看，一個數(shù)的絕對值就是表示這個數(shù)的點離開原點的距離．但除零以外，任一個絕對值都是表示兩個不同數(shù)的絕對值．即一個數(shù)與它相反數(shù)的絕對值是一樣的．由于這個性質(zhì)，所以含有絕對值的方程與不等式的求解過程又出現(xiàn)了一些新特點．本講主要介紹方程與不等式中含有絕對值的處理方法． 一個實數(shù)a的絕對值記作｜a｜，指的是由a所唯一確定的非負實數(shù)： 含絕對值的不等式的性質(zhì)：
(2)｜a｜-｜b｜≤｜a+b｜≤｜a｜+｜b｜； (3)｜a｜-｜b｜≤｜a-b｜≤｜a｜+｜b｜． 由于絕對值的定義，所以含有絕對值的代數(shù)式無法進行統(tǒng)一的代數(shù)運算．通常的手法是分別按照絕對值符號內(nèi)的代數(shù)式取值的正、負情況，脫去絕時值符號，轉(zhuǎn)化為不含絕對值的代數(shù)式進行運算，即含有絕對值的方程與不等式的求解，常用分類討論法．在進行分類討論時，要注意所劃分的類別之間應(yīng)該不重、不漏．下面結(jié)合例題予以分析． 例1 解方程｜x-2｜+｜2x+1｜=7． 分析 解含有絕對值符號的方程的關(guān)鍵是去絕對值符號，這可用“零 掉絕對值符號再求解． 解(1)當x≥2時，原方程化為
應(yīng)舍去．
說明 若在x的某個范圍內(nèi)求解方程時，若求出的未知數(shù)的值不屬于此范圍內(nèi)，則這樣的解不是方程的解，應(yīng)舍去． 例2 求方程｜x-｜2x+1｜｜=3的不同的解的個數(shù)．
為只含有一個絕對值符號的方程．然后再去掉外層的絕對值符號求解． 即 ?。?/font>1+x｜=3，
即 ｜3x+1｜=3， 的個數(shù)為2． 例3 若關(guān)于x的方程｜｜x-2｜-1｜=a有三個整數(shù)解．則a的值是多少？ 解 若a＜0，原方程無解，所以a≥0．由絕對值的定義可知 所以 ｜x-2｜=1±a． (1)若a＞1，則｜x-2｜=1-a＜0，無解．｜x-2｜=1＋a，x只能有兩個解x=3+a和x=1-a． (2)若0≤a≤1，則由｜x-2｜=1+a，求得 由｜x-2｜=1-a，求得 原方程的解為x=3+a，3-a，1+a，1-a，為使方程有三個整數(shù)解，a必為整數(shù)，所以a只能取0或1．當a=0時，原方程的解為x=3，1，只有兩個解，與題設(shè)不符，所以a≠0．當a=1時，原方程的解為x=4，0，2，有三個解． 綜上可知，a=1． 例4 已知方程｜x｜=ax+1有一負根，且無正根，求a的取值范圍． 解 設(shè)x為方程的負根，則-x=ax+1，即 所以應(yīng)有a＞-1．反之，a＞-1時，原方程有負根． 設(shè)方程有正根x，則x=ax＋1，即 所以a＜1．反之，a＜1時，原方程有正根． 綜上可知，若使原方程有一負根且無正根，必須a≥1． 例5 設(shè) 求x+y． 分析 從絕對值的意義知 兩個非負實數(shù)和為零時，這兩個實數(shù)必須都為零． 解 由題設(shè)有 把③代入①得 例6 解方程組 分析與解 由①得x-y=1或x-y=-1，即 與②結(jié)合有下面兩個方程組
解(Ⅰ)：把x=y+1代入｜x｜+2｜y｜=3得 組(Ⅰ)的解為 同理，解(Ⅱ)有 故原方程組的解為 例7 解方程組 解 由①得 因為｜x-y｜≥0，所以x+y＞0，所以｜x+y｜=x+y． ③ 把③代入②有 所以y=2．將之代入①有｜x-2｜=x，所以 或 x-2=-x． ⑤ ④無解，所以只有解⑤得x=1．故 說明 本題若按通常的解法，區(qū)分x+y≥0和x+y＜0兩種情形，把方程②分成兩個不同的方程x+y=x+2和-(x+y)=x+2，對方程①也做類似處理的話，將很麻煩．上面的解法充分利用了絕對值的定義和性質(zhì)，從方程①中發(fā)現(xiàn)必有x+y＞0，因而可以立刻消去方程②中的絕對值符號，從而簡化了解題過程． 例8 解不等式｜x-5｜-｜2x+3｜＜1．
＜x≤5，x＞5．
(3)當x＞5時，原不等式化為 解之得x＞-9，結(jié)合x＞5，故x＞5是原不等式的解． 的解． 例9 解不等式1≤｜3x-5｜≤2． 分析與解 此不等式實際上是 解 對｜3x-5｜≥1：
對｜3x-5｜≤2：
所以①與②的公共解應(yīng)為
例 10 解不等式｜｜x+3｜-｜x-3｜｜＞3． 解 從里往外去絕對值符號，將數(shù)軸分為x≤-3，-3＜x≤3，x＞3三段來討論，于是原不等式化為如下三個不等式組．
即 x≤-3．
即 x＞3．
說明 本題也可以由外向內(nèi)去絕對值符號，由絕對值的意義，解下面兩個不等式 分別解出①和②即可，請同學(xué)們自己完成這個解法． 例11 當a取哪些值時，方程｜x+2｜+｜x-1｜=a有解？ 解法1 (1)當x≤-2時， (2)當-2＜x＜1時， (3)當x≥1時， 所以，只有當a≥3時，原方程有解． 解法2 按照絕對值的性質(zhì)｜a-b｜≤｜a｜+｜b｜，故 其中等號當-2≤x≤1時成立，所以當a≥3時，原方程有解． 1．解下列方程： (1)｜x+3｜-｜x-1｜=x+1； (2)｜｜1+x｜-1｜=3x； (3)｜3x-2｜-｜x+1｜=x+2； (4)｜3y-2｜=-｜5x-3｜． 2．解方程組：
3．解下列不等式：
(2)5≤｜5x-3｜≤10； (3)｜x+1｜+｜4-x｜＜6； (4)｜｜x-1｜-｜x+2｜｜＞1． 4．若a＞0，b＜0，則方程｜x-a｜+｜x-b｜=a-b的解是什么？ |